【等差数列前n项和】在数学中，等差数列是一个常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的差为定值。这个定值称为公差，记作 $ d $。等差数列的一般形式为：
$$ a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, \ldots, a_1 + (n-1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数。
对于等差数列的前 $ n $ 项和，我们可以通过一个公式来快速计算，而不需要逐项相加。这个公式是：
$$ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) $$
或者也可以写成：
$$ S_n = \frac{n}{2} \times [2a_1 + (n - 1)d] $$
这两个公式本质上是相同的，只是表达方式不同。第一个公式更直观地体现了“首项加末项”乘以项数再除以2的思想，而第二个公式则适用于已知首项和公差的情况。
为了更好地理解和应用这些公式，下面通过几个例子进行说明，并列出相关数据表格。
示例分析
例1：已知首项和末项
设等差数列为：2, 4, 6, 8, 10，求前5项和。
- 首项 $ a_1 = 2 $
- 末项 $ a_5 = 10 $
- 项数 $ n = 5 $
代入公式得：
$$ S_5 = \frac{5}{2} \times (2 + 10) = \frac{5}{2} \times 12 = 30 $$
例2：已知首项和公差
设等差数列为：3, 7, 11, 15, 19，求前5项和。
- 首项 $ a_1 = 3 $
- 公差 $ d = 4 $
- 项数 $ n = 5 $
代入公式得：
$$ S_5 = \frac{5}{2} \times [2 \times 3 + (5 - 1) \times 4] = \frac{5}{2} \times [6 + 16] = \frac{5}{2} \times 22 = 55 $$
数据表格展示
| 项数 $ n $ | 首项 $ a_1 $ | 公差 $ d $ | 末项 $ a_n $ | 前n项和 $ S_n $ |
| 5 | 2 | 2 | 10 | 30 |
| 5 | 3 | 4 | 19 | 55 |
| 4 | 1 | 3 | 10 | 22 |
| 6 | 5 | 2 | 15 | 60 |
总结
等差数列前 $ n $ 项和的计算是数学中的一个重要知识点，掌握其公式和应用场景有助于提高解题效率。通过不同的已知条件（如首项和末项、首项和公差），可以灵活运用相应的公式进行计算。同时，结合实际例子和表格数据，能够更加清晰地理解这一概念。
无论是学习还是教学，熟练掌握等差数列的前 $ n $ 项和公式都具有重要的意义。
