【等比数列前n项和公式Sn】在数学中，等比数列是一种重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值为常数。等比数列的前n项和公式是求解这类数列部分和的重要工具。下面对等比数列前n项和公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、等比数列前n项和公式概述
等比数列的一般形式为：
$$ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} $$
其中，$ a $ 是首项，$ r $ 是公比（$ r \neq 1 $）。
当 $ r \neq 1 $ 时，等比数列的前n项和公式为：
$$ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
这两个公式本质上是相同的，只是分子分母的顺序不同。
当 $ r = 1 $ 时，所有项都等于首项 $ a $，因此前n项和为：
$$ S_n = a \cdot n $$
二、公式适用条件
| 条件 | 公式 | 说明 |
| $ r \neq 1 $ | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 适用于公比不为1的情况 |
| $ r \neq 1 $ | $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 与上式等价，仅符号不同 |
| $ r = 1 $ | $ S_n = a \cdot n $ | 所有项相同，直接相加 |
三、使用示例
假设一个等比数列的首项为 $ a = 3 $，公比 $ r = 2 $，求前5项的和：
- 代入公式：
$$
S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot (32 - 1) = 3 \cdot 31 = 93
$$
验证：
数列为 $ 3, 6, 12, 24, 48 $，和为 $ 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 $，结果一致。
四、注意事项
- 若题目未明确给出公比 $ r $ 的值，需先判断是否为1。
- 在实际应用中，若 $ r > 1 $，通常使用第二种公式更方便；若 $ 0 < r < 1 $，第一种公式更常用。
- 公式推导过程可参考错位相减法，是高中数学中的经典方法。
五、总结
等比数列前n项和公式是解决等比数列求和问题的核心工具。掌握其基本形式及适用条件，能够帮助学生快速准确地完成相关计算。同时，理解公式背后的逻辑有助于提升数学思维能力。
| 公式名称 | 公式表达 | 使用条件 |
| 等比数列前n项和 | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | $ r \neq 1 $ |
| 等比数列前n项和 | $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | $ r \neq 1 $ |
| 等比数列前n项和 | $ S_n = a \cdot n $ | $ r = 1 $ |
如需进一步了解等比数列的性质或其他数列求和方法，可继续学习等差数列、调和数列等内容。
