【等比数列的公式有哪些】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。掌握等比数列的相关公式，对于理解和解决相关问题非常重要。以下是对等比数列常用公式的总结。
一、基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个数。
- 前n项和（Sₙ）：数列前n项的总和。
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 求第n项的值 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 求前n项的和 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 公比为1时的特殊情况 | ||
| 等比中项公式 | $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | 若a, b, c成等比数列，则b是a和c的等比中项 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项和收敛 |
三、使用场景举例
- 第n项公式：已知首项和公比，求第10项是多少？
- 前n项和公式：计算某银行存款每年按固定利率增长的总收益。
- 等比中项公式：用于几何问题或比例关系分析。
- 无穷等比数列和：用于金融中的年金计算或数学极限问题。
四、注意事项
- 当公比 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，此时前n项和为 $ S_n = a_1 \cdot n $。
- 若公比 $
- 在实际应用中，需注意单位统一和数据的合理性。
通过以上总结可以看出，等比数列的公式虽不多，但用途广泛，是数学学习和实际应用中非常重要的工具。掌握这些公式，有助于提升解题效率和理解能力。
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