【复合函数求导公式什么】在微积分的学习中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。它涉及到多个函数的组合，需要使用特定的法则来进行求导。本文将对复合函数的求导公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其应用方式。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，例如：
设 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，那么 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数。
在求导时，我们需要使用链式法则（Chain Rule）来计算复合函数的导数。
二、复合函数求导的公式
链式法则是复合函数求导的核心方法，其基本形式如下：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
也就是说，复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
三、常见复合函数的求导公式
以下是一些常见的复合函数及其对应的求导公式，便于快速查阅和应用：
| 复合函数形式 | 求导公式 | 说明 |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ y' = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | 幂函数的导数，适用于任何实数 $ n $ |
| $ y = e^{f(x)} $ | $ y' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = \ln(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x)} $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(f(x)) $ | $ y' = \cos(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos(f(x)) $ | $ y' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x) $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = \tan(f(x)) $ | $ y' = \sec^2(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正切函数的导数 |
| $ y = \log_a(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x) \cdot \ln a} $ | 对数函数的导数（底数为 $ a $） |
四、使用示例
例1：求函数 $ y = (3x + 2)^5 $ 的导数。
解：
设 $ u = 3x + 2 $，则 $ y = u^5 $
根据公式：
$ y' = 5u^4 \cdot u' = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4 $
例2：求函数 $ y = \sin(2x + 1) $ 的导数。
解：
设 $ u = 2x + 1 $，则 $ y = \sin(u) $
根据公式：
$ y' = \cos(u) \cdot u' = \cos(2x + 1) \cdot 2 = 2\cos(2x + 1) $
五、总结
复合函数的求导是微积分中的基础内容，掌握链式法则和各类常见函数的导数公式，能够有效提升解题效率。通过上述表格和示例，可以更直观地理解并应用复合函数的求导方法。
建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和记忆，从而更好地应对实际问题。
