【复合函数定义域的求法.】在学习函数的过程中，复合函数是一个重要的概念。它是由两个或多个函数组合而成的新函数，其定义域的确定需要结合各个原函数的定义域进行分析。本文将对复合函数定义域的求法进行总结，并通过表格形式清晰展示不同情况下的处理方法。
一、复合函数的定义
设函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，则复合函数可以表示为 $ y = f(g(x)) $，记作 $ f \circ g $。
复合函数的定义域是使得内层函数 $ g(x) $ 的输出值在外层函数 $ f(u) $ 的定义域内的所有 $ x $ 值的集合。
二、复合函数定义域的求法步骤
1. 确定内层函数的定义域：即找出 $ g(x) $ 的定义域。
2. 确定外层函数的定义域：即找出 $ f(u) $ 的定义域。
3. 求交集：将内层函数的定义域与外层函数的定义域进行交集运算，得到复合函数的定义域。
三、常见类型及对应求法（表格）
| 类型 | 复合函数形式 | 内层函数定义域 | 外层函数定义域 | 复合函数定义域 | 求法说明 |
| 1 | $ f(g(x)) $ | $ D_g $ | $ D_f $ | $ D_g \cap g^{-1}(D_f) $ | 找出 $ g(x) $ 的定义域，再找出 $ f(u) $ 中 $ u $ 的取值范围，使 $ g(x) $ 在其中 |
| 2 | $ f(f(x)) $ | $ D_f $ | $ D_f $ | $ D_f \cap f^{-1}(D_f) $ | 保证 $ f(x) $ 的结果仍属于 $ f $ 的定义域 |
| 3 | $ f(g(h(x))) $ | $ D_h $ | $ D_g $ | $ D_h \cap h^{-1}(D_g) \cap g^{-1}(D_f) $ | 多层嵌套需逐层判断，确保每一步都在定义域内 |
| 4 | 含根号或分母的函数 | 如 $ f(x) = \sqrt{g(x)} $ | $ g(x) \geq 0 $ | $ D_f $ | 根号下非负，分母不为零，需分别考虑 |
| 5 | 对数函数 | 如 $ f(x) = \log(g(x)) $ | $ g(x) > 0 $ | $ D_f $ | 对数的真数必须大于0 |
四、实例分析
例1：
已知 $ f(x) = \sqrt{x} $，$ g(x) = x - 1 $，求 $ f(g(x)) $ 的定义域。
- 内层函数 $ g(x) = x - 1 $ 的定义域为全体实数 $ \mathbb{R} $。
- 外层函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 的定义域为 $ x \geq 0 $。
- 因此，$ f(g(x)) = \sqrt{x - 1} $，要求 $ x - 1 \geq 0 $，即 $ x \geq 1 $。
- 最终定义域为 $ [1, +\infty) $。
例2：
已知 $ f(x) = \frac{1}{x} $，$ g(x) = x^2 - 1 $，求 $ f(g(x)) $ 的定义域。
- 内层函数 $ g(x) = x^2 - 1 $ 的定义域为全体实数。
- 外层函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 的定义域为 $ x \neq 0 $。
- 因此，$ f(g(x)) = \frac{1}{x^2 - 1} $，要求 $ x^2 - 1 \neq 0 $，即 $ x \neq \pm1 $。
- 最终定义域为 $ (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) $。
五、小结
复合函数的定义域不是简单的叠加，而是根据函数的结构和限制条件进行综合判断。掌握以下几点有助于提高解题效率：
- 明确各层函数的定义域；
- 确保内层函数的输出满足外层函数的要求；
- 注意特殊函数（如根号、分式、对数）的附加限制；
- 多层复合时要逐层分析，避免遗漏。
通过系统的学习和练习，能够更准确地把握复合函数定义域的求法，提升数学思维能力。
