【二次函数顶点坐标式】在初中数学中，二次函数是一个重要的知识点，而“顶点坐标式”则是研究二次函数图像性质的重要工具。通过顶点坐标式，我们可以快速找到抛物线的顶点、对称轴以及开口方向等关键信息。本文将对二次函数的顶点坐标式进行总结，并通过表格形式清晰展示其应用与特点。
一、二次函数的一般形式
二次函数的一般形式为：
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是常数，且 $ a \neq 0 $。
二、顶点坐标式的定义
顶点坐标式是二次函数的一种特殊表达形式，可以表示为：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
其中，$ (h, k) $ 是抛物线的顶点坐标，$ a $ 决定了抛物线的开口方向和宽窄程度。
- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；
- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。
三、顶点坐标式的推导
从一般式 $ y = ax^2 + bx + c $ 推导出顶点坐标式的过程如下：
1. 提取公因数 $ a $：
$$
y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c
$$
2. 配方：
$$
y = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c
$$
3. 化简得到顶点坐标式：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
其中，顶点坐标为：
$$
h = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a}
$$
四、顶点坐标式的应用
| 项目 | 内容说明 |
| 顶点坐标 | $ (h, k) = \left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right) $ |
| 对称轴 | 直线 $ x = h $ |
| 开口方向 | 由系数 $ a $ 的正负决定 |
| 最大/最小值 | 当 $ a > 0 $ 时，$ k $ 是最小值；当 $ a < 0 $ 时，$ k $ 是最大值 |
| 图像形状 | 抛物线，对称于直线 $ x = h $ |
五、示例分析
例题：
已知二次函数 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $，将其写成顶点坐标式，并求出顶点坐标和对称轴。
解：
1. 提取 $ a = 2 $，配方：
$$
y = 2(x^2 - 2x) + 1
$$
2. 补全平方：
$$
y = 2[(x - 1)^2 - 1] + 1 = 2(x - 1)^2 - 2 + 1 = 2(x - 1)^2 - 1
$$
3. 顶点坐标为 $ (1, -1) $，对称轴为 $ x = 1 $。
六、总结
二次函数的顶点坐标式是理解抛物线性质的重要工具，它能够帮助我们快速确定图像的关键特征。掌握顶点坐标式的推导与应用，不仅有助于提高解题效率，还能加深对二次函数整体结构的理解。
| 项目 | 内容 |
| 顶点坐标式 | $ y = a(x - h)^2 + k $ |
| 顶点坐标 | $ (h, k) $ |
| 对称轴 | $ x = h $ |
| 开口方向 | 由 $ a $ 的符号决定 |
| 最大/最小值 | 由 $ a $ 的正负决定 |
通过以上总结与表格，我们可以更清晰地掌握二次函数顶点坐标式的相关知识，为后续学习打下坚实基础。
