【点到平面的距离公式立体几何】在立体几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，广泛应用于数学、物理和工程等领域。理解并掌握这一公式的推导与应用，有助于解决实际问题，如空间定位、投影计算等。本文将对“点到平面的距离公式”进行总结，并以表格形式清晰展示其内容。

一、点到平面距离的基本概念

在三维空间中，一个平面可以用一般方程表示为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$ A, B, C $ 是平面的法向量分量，$ D $ 是常数项。

若有一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，则该点到上述平面的距离 $ d $ 可以通过以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

这个公式是根据点到平面的垂直距离定义得出的，具有广泛的适用性。

二、公式推导简要说明

1. 法向量方向：平面的一般方程中的系数 $ (A, B, C) $ 构成一个法向量。

2. 点到平面的投影：将点沿法向量方向投影到平面上，得到最短距离。

3. 绝对值与归一化：为了确保距离为非负值，使用绝对值；分母用于归一化法向量长度。

三、应用场景

四、示例计算

假设平面方程为：

$$

2x - 3y + 6z - 12 = 0

$$

点 $ P(1, 2, 3) $

代入公式得：

$$

d = \frac{2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 - 12}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 12}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{2}{7} $。

五、总结表格

通过以上总结与表格展示，可以更清晰地理解“点到平面的距离公式”的原理与应用。掌握这一知识，有助于提升在立体几何问题中的解题能力。