【点到空间直线一般式的距离公式】在三维几何中，计算点到空间直线的距离是一个常见的问题，尤其在工程、物理和计算机图形学中具有广泛的应用。通常，空间直线可以用一般式表示，即通过两个平面方程的交线来定义。本文将总结点到空间直线一般式的距离公式的推导与应用，并以表格形式进行归纳。

一、基本概念

1. 点：设为 $ P(x_0, y_0, z_0) $

2. 直线：由两个平面方程组成的直线，记为：

$$

\begin{cases}

A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\

A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0

\end{cases}

$$

3. 方向向量：由两个平面法向量的叉乘得到，即：

$$

\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

A_1 & B_1 & C_1 \\

A_2 & B_2 & C_2

\end{vmatrix}

$$

二、点到直线的距离公式

点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到直线 $ L $ 的距离 $ d $ 可以通过以下公式计算：

$$

d = \frac{\left (\vec{P_0} - \vec{P}) \cdot (\vec{v}) \right}{\\vec{v}\}

$$

其中：

- $ \vec{P_0} $ 是直线上任意一点；

- $ \vec{P} $ 是点 $ P $ 的位置向量；

- $ \vec{v} $ 是直线的方向向量。

该公式基于向量叉乘的性质，利用点到直线的垂直距离进行计算。

三、步骤总结

四、示例说明

假设点 $ P(1, 2, 3) $，直线由以下两个平面给出：

$$

\begin{cases}

x + y + z = 0 \\

2x - y + z = 0

\end{cases}

$$

1. 平面法向量分别为 $ \vec{n}_1 = (1, 1, 1) $、$ \vec{n}_2 = (2, -1, 1) $

2. 直线方向向量为：

$$

\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 1 & 1 \\

2 & -1 & 1

\end{vmatrix}

= (2, 1, -3)

$$

3. 令 $ x = 0 $，代入两平面方程得：

- 第一个平面：$ y + z = 0 $

- 第二个平面：$ -y + z = 0 $

- 解得：$ y = 0, z = 0 $，所以点 $ P_0(0, 0, 0) $ 在直线上

4. 向量 $ \vec{PP_0} = (-1, -2, -3) $

5. 计算叉乘模长：

$$

\vec{PP_0} \times \vec{v} = (-1, -2, -3) \times (2, 1, -3) = (9, 9, 3) = \sqrt{9^2 + 9^2 + 3^2} = \sqrt{171}

$$

6. 方向向量模长：

$$

\\vec{v}\ = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}

$$

7. 最终距离：

$$

d = \frac{\sqrt{171}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{171}{14}} \approx 3.57

$$

五、总结

如需进一步了解如何使用此公式进行编程实现或在具体场景中的应用，可继续提问。