【大学最小二乘法例题及答案】在大学数学、工程或数据分析课程中，最小二乘法是一个重要的工具，常用于拟合数据点与直线、曲线之间的关系。它通过最小化误差平方和来找到最佳拟合模型。以下是一些典型的最小二乘法例题及其解答，以加表格的形式呈现。
一、例题1：线性拟合
题目：
给定以下数据点：
(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 7)
请用最小二乘法求出一条最佳拟合直线，并给出拟合结果。
解题思路：
设拟合直线为 $ y = a + bx $，其中 $ a $ 为截距，$ b $ 为斜率。根据最小二乘法的公式：
$$
b = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}
$$
$$
a = \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n}
$$
计算过程：
| $ x_i $ | $ y_i $ | $ x_i y_i $ | $ x_i^2 $ |
| 1 | 2 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 8 | 4 |
| 3 | 5 | 15 | 9 |
| 4 | 7 | 28 | 16 |
| 合计 | 18 | 53 | 30 |
- $ n = 4 $
- $ \sum x_i = 10 $
- $ \sum y_i = 18 $
- $ \sum x_i y_i = 53 $
- $ \sum x_i^2 = 30 $
代入公式得：
$$
b = \frac{4 \times 53 - 10 \times 18}{4 \times 30 - 10^2} = \frac{212 - 180}{120 - 100} = \frac{32}{20} = 1.6
$$
$$
a = \frac{18 - 1.6 \times 10}{4} = \frac{18 - 16}{4} = \frac{2}{4} = 0.5
$$
结论：
最佳拟合直线为 $ y = 0.5 + 1.6x $
二、例题2：二次拟合
题目：
给定以下数据点：
(1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 17)
用最小二乘法拟合一个二次多项式 $ y = a + bx + cx^2 $，并求出系数。
解题思路：
对于二次拟合，需建立方程组：
$$
\begin{cases}
n a + b \sum x_i + c \sum x_i^2 = \sum y_i \\
a \sum x_i + b \sum x_i^2 + c \sum x_i^3 = \sum x_i y_i \\
a \sum x_i^2 + b \sum x_i^3 + c \sum x_i^4 = \sum x_i^2 y_i
\end{cases}
$$
计算过程：
| $ x_i $ | $ y_i $ | $ x_i y_i $ | $ x_i^2 $ | $ x_i^2 y_i $ | $ x_i^3 $ | $ x_i^4 $ |
| 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 |
| 2 | 5 | 10 | 4 | 20 | 8 | 16 |
| 3 | 10 | 30 | 9 | 90 | 27 | 81 |
| 4 | 17 | 68 | 16 | 272 | 64 | 256 |
| 合计 | 34 | 110 | 30 | 384 | 100 | 354 |
- $ n = 4 $
- $ \sum x_i = 10 $
- $ \sum y_i = 34 $
- $ \sum x_i y_i = 110 $
- $ \sum x_i^2 = 30 $
- $ \sum x_i^2 y_i = 384 $
- $ \sum x_i^3 = 100 $
- $ \sum x_i^4 = 354 $
建立方程组：
$$
\begin{cases}
4a + 10b + 30c = 34 \\
10a + 30b + 100c = 110 \\
30a + 100b + 354c = 384
\end{cases}
$$
解这个三元一次方程组（可使用矩阵法或代入法），得到：
- $ a = 1 $
- $ b = 2 $
- $ c = 1 $
结论：
最佳拟合二次多项式为 $ y = 1 + 2x + x^2 $
三、例题3：非线性拟合（指数形式）
题目：
给定以下数据点：
(1, 3), (2, 7), (3, 15), (4, 31)
假设数据符合指数形式 $ y = ae^{bx} $，用最小二乘法拟合参数 $ a $ 和 $ b $。
解题思路：
对指数函数取对数，变为线性形式：
$$
\ln y = \ln a + bx
$$
令 $ Y = \ln y $，则问题转化为线性拟合 $ Y = A + bx $，其中 $ A = \ln a $
计算过程：
| $ x_i $ | $ y_i $ | $ \ln y_i $ | $ x_i \ln y_i $ | $ x_i^2 $ |
| 1 | 3 | 1.0986 | 1.0986 | 1 |
| 2 | 7 | 1.9459 | 3.8918 | 4 |
| 3 | 15 | 2.7081 | 8.1243 | 9 |
| 4 | 31 | 3.4339 | 13.7356 | 16 |
| 合计 | 56 | 9.1865 | 26.8503 | 30 |
- $ n = 4 $
- $ \sum x_i = 10 $
- $ \sum \ln y_i = 9.1865 $
- $ \sum x_i \ln y_i = 26.8503 $
- $ \sum x_i^2 = 30 $
代入公式：
$$
b = \frac{4 \times 26.8503 - 10 \times 9.1865}{4 \times 30 - 10^2} = \frac{107.4012 - 91.865}{120 - 100} = \frac{15.5362}{20} = 0.7768
$$
$$
A = \frac{9.1865 - 0.7768 \times 10}{4} = \frac{9.1865 - 7.768}{4} = \frac{1.4185}{4} = 0.3546
$$
$$
a = e^{A} = e^{0.3546} \approx 1.426
$$
结论：
拟合函数为 $ y = 1.426e^{0.7768x} $
四、总结表格
| 题目类型 | 拟合模型 | 系数或公式 | 结论说明 |
| 线性拟合 | $ y = a + bx $ | $ a = 0.5, b = 1.6 $ | 最佳拟合直线为 $ y = 0.5 + 1.6x $ |
| 二次拟合 | $ y = a + bx + cx^2 $ | $ a = 1, b = 2, c = 1 $ | 最佳拟合为 $ y = 1 + 2x + x^2 $ |
| 指数拟合 | $ y = ae^{bx} $ | $ a = 1.426, b = 0.7768 $ | 拟合函数为 $ y = 1.426e^{0.7768x} $ |
通过以上例题可以看出，最小二乘法在不同模型下的应用方法基本一致，核心在于构建合适的模型表达式，并利用最小化误差平方和的原则进行参数估计。
