【曲线曲面积分公式总结】在多元微积分中，曲线积分与曲面积分是重要的工具，广泛应用于物理、工程和数学的多个领域。它们分别用于计算沿曲线或曲面的某种物理量（如质量、电场、流体等）。本文对常见的曲线积分与曲面积分的公式进行系统性总结，并以表格形式展示，便于理解和记忆。

一、曲线积分

曲线积分分为两类：第一类曲线积分（对弧长的积分）和第二类曲线积分（对坐标的积分）。

1. 第一类曲线积分（对弧长的积分）

定义：设函数 $ f(x, y, z) $ 在光滑曲线 $ L $ 上连续，$ L $ 的参数方程为：

$$

\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)), \quad t \in [a, b

$$

则第一类曲线积分为：

$$

\int_L f(x, y, z) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \cdot \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \, dt

$$

其中，$ ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \, dt $

2. 第二类曲线积分（对坐标的积分）

定义：设向量场 $ \vec{F} = (P, Q, R) $，曲线 $ L $ 参数方程为 $ \vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) $，则第二类曲线积分为：

$$

\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b P(x(t), y(t), z(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y'(t) + R(x(t), y(t), z(t)) z'(t) \, dt

$$

3. 格林公式（二维平面）

若 $ C $ 是一条封闭曲线，包围区域 $ D $，且 $ P, Q $ 在 $ D $ 内可微，则有：

$$

\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA

$$

二、曲面积分

曲面积分也分为两类：第一类曲面积分（对面积的积分）和第二类曲面积分（对坐标的积分）。

1. 第一类曲面积分（对面积的积分）

设函数 $ f(x, y, z) $ 在曲面 $ S $ 上连续，曲面参数方程为：

$$

\vec{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), \quad (u, v) \in D

$$

则第一类曲面积分为：

$$

\iint_S f(x, y, z) \, dS = \iint_D f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \cdot \left \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right \, du \, dv

$$

其中，$ dS = \left \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right \, du \, dv $

2. 第二类曲面积分（对坐标的积分）

设向量场 $ \vec{F} = (P, Q, R) $，曲面 $ S $ 参数方程为 $ \vec{r}(u, v) $，则第二类曲面积分为：

$$

\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_D \vec{F}(\vec{r}(u,v)) \cdot \left( \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right) \, du \, dv

$$

3. 高斯公式（散度定理）

若 $ V $ 是一个闭合曲面 $ S $ 所围成的空间区域，且向量场 $ \vec{F} $ 在 $ V $ 内可微，则有：

$$

\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V \nabla \cdot \vec{F} \, dV

$$

4. 斯托克斯定理（旋度定理）

若 $ S $ 是一个有向曲面，边界为 $ C $，且向量场 $ \vec{F} $ 在 $ S $ 上可微，则有：

$$

\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}

$$

三、常见公式的对比表

四、总结

曲线积分与曲面积分是研究矢量场与标量场在几何对象上分布的重要工具。通过掌握其基本公式及应用条件，可以更高效地解决物理和工程中的实际问题。上述表格提供了清晰的分类与公式对照，有助于快速查阅与理解。