【各种分布的方差与期望】在概率论和统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的重要指标。不同的概率分布具有不同的期望和方差公式，掌握这些公式有助于我们更好地理解数据的集中趋势和离散程度。以下是对几种常见概率分布的期望与方差的总结。
一、离散型分布
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Po(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 $ Ge(p) $ | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 $ H(N, K, n) $ | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ | $ \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $ |
二、连续型分布
| 分布名称 | 概率密度函数（PDF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 伽马分布 $ Ga(k, \theta) $ | $ f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)} $ | $ k\theta $ | $ k\theta^2 $ |
| 三角分布 $ Tri(a, b, c) $ | 在区间 [a, b] 上的三角形分布，峰值为 c | $ \frac{a + b + c}{3} $ | $ \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc}{18} $ |
三、总结
以上表格涵盖了常见的离散型和连续型概率分布的期望与方差计算公式。这些公式在实际应用中非常有用，例如在金融建模、工程可靠性分析、数据分析等领域都有广泛的应用。了解不同分布的数学特性，有助于我们更准确地进行统计推断和预测。
在学习过程中，建议结合实际例子来加深对这些概念的理解，并通过练习题加以巩固。希望本文能为你提供一个清晰的参考指南。
