【高等数学公式】在高等数学的学习过程中，掌握各种基本公式是理解数学概念和解决实际问题的关键。以下是对高等数学中常见公式的总结，便于查阅与复习。
一、函数与极限
| 公式名称 | 公式表达 |
| 极限定义 | $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 表示当 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数值趋近于 $L$ |
| 常见极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ |
| 连续性 | 若 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$，则函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处连续 |
二、导数与微分
| 公式名称 | 公式表达 |
| 导数定义 | $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ |
| 基本导数 | $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(e^x)' = e^x$ |
| 高阶导数 | $f^{(n)}(x)$ 表示函数的第 $n$ 阶导数 |
| 微分形式 | $df = f'(x)dx$ |
三、积分
| 公式名称 | 公式表达 |
| 不定积分 | $\int f(x) dx = F(x) + C$，其中 $F'(x) = f(x)$ |
| 定积分 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ |
| 积分基本定理 | $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$ |
| 积分技巧 | 分部积分：$\int u dv = uv - \int v du$，换元法：$\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$ |
四、微分方程
| 公式名称 | 公式表达 |
| 一阶线性微分方程 | $y' + P(x)y = Q(x)$，通解为 $y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right)$ |
| 可分离变量方程 | $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$，可写成 $\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$ |
| 二阶常系数齐次方程 | $ay'' + by' + cy = 0$，特征方程为 $ar^2 + br + c = 0$ |
五、级数
| 公式名称 | 公式表达 | ||
| 等比级数 | $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r}$（当 $ | r | < 1$） |
| 泰勒级数 | $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$ | ||
| 麦克劳林级数 | 当 $a = 0$ 时的泰勒级数，如 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ |
六、多元函数
| 公式名称 | 公式表达 |
| 偏导数 | $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示对 $x$ 的偏导数 |
| 全微分 | $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ |
| 二阶偏导数 | $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ 为混合偏导数 |
七、向量与空间解析几何
| 公式名称 | 公式表达 | ||||
| 向量点积 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos \theta$ | |
| 向量叉积 | $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin \theta \hat{n}$ | |
| 平面方程 | $Ax + By + Cz + D = 0$ | ||||
| 直线方程 | 参数式：$\vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{v}$ |
总结
高等数学中的公式繁多，但它们构成了整个学科的基础。掌握这些公式不仅有助于理解数学理论，也能提高解题效率。建议在学习过程中结合例题反复练习，并通过表格整理记忆，以达到事半功倍的效果。
