【反三角函数有哪些公式】反三角函数是三角函数的反函数，主要用于求解已知三角函数值对应的角。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。它们在数学、物理、工程等领域有广泛应用。以下是对常见反三角函数及其公式的总结。
一、基本定义
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦函数 | y = arcsin(x) | x ∈ [-1, 1] | y ∈ [-π/2, π/2] |
| 反余弦函数 | y = arccos(x) | x ∈ [-1, 1] | y ∈ [0, π] |
| 反正切函数 | y = arctan(x) | x ∈ (-∞, +∞) | y ∈ (-π/2, π/2) |
| 反余切函数 | y = arccot(x) | x ∈ (-∞, +∞) | y ∈ (0, π) |
| 反正割函数 | y = arcsec(x) | x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, +∞) | y ∈ [0, π/2) ∪ (π/2, π] |
| 反余割函数 | y = arccsc(x) | x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, +∞) | y ∈ [-π/2, 0) ∪ (0, π/2] |
二、常用公式
1. 互为补角关系
- arcsin(x) + arccos(x) = π/2
- arctan(x) + arccot(x) = π/2
- arcsec(x) + arccsc(x) = π/2
2. 偶奇性
- arcsin(-x) = -arcsin(x)
- arccos(-x) = π - arccos(x)
- arctan(-x) = -arctan(x)
- arccot(-x) = π - arccot(x)
3. 与三角函数的关系
- sin(arcsin(x)) = x
- cos(arccos(x)) = x
- tan(arctan(x)) = x
4. 导数公式（微积分中常用）
| 函数名称 | 导数 | ||
| d/dx [arcsin(x)] | 1 / √(1 - x²) | ||
| d/dx [arccos(x)] | -1 / √(1 - x²) | ||
| d/dx [arctan(x)] | 1 / (1 + x²) | ||
| d/dx [arccot(x)] | -1 / (1 + x²) | ||
| d/dx [arcsec(x)] | 1 / ( | x | √(x² - 1)) |
| d/dx [arccsc(x)] | -1 / ( | x | √(x² - 1)) |
5. 求和与差公式（部分）
- arcsin(x) ± arcsin(y) = ?
需要使用三角恒等式进行推导，一般较为复杂。
- arctan(x) + arctan(y) = arctan[(x + y)/(1 - xy)] （当 xy < 1）
三、应用举例
1. 求角度：已知 sinθ = 0.5，则 θ = arcsin(0.5) = π/6 或 5π/6。
2. 解方程：如 tanθ = 1，θ = arctan(1) = π/4。
3. 几何问题：在直角三角形中，已知两边比例，可用反三角函数求出角度。
四、注意事项
- 反三角函数的值域是有限的，因此在实际计算时需注意结果是否符合定义域和值域范围。
- 不同教材或软件中，反三角函数的表示方式可能略有差异，但本质一致。
总结
反三角函数是三角函数的重要补充，用于从已知三角函数值求出对应的角度。掌握其基本定义、公式和性质，有助于在数学、物理及工程问题中更高效地进行计算与分析。通过表格形式的归纳，可以更清晰地理解各类反三角函数的特点与应用场景。
