【多项式长除法】在代数学习中，多项式长除法是一种用于将一个多项式除以另一个次数较低的多项式的有效方法。它类似于整数的长除法，但适用于多项式运算。通过这种除法，我们可以得到商和余数，从而进一步分解或简化多项式。
一、多项式长除法的基本步骤
1. 排列多项式：确保被除式和除式都按降幂排列。
2. 确定首项：用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一项。
3. 乘积与减法：将商的第一项乘以除式，然后从被除式中减去这个乘积。
4. 重复步骤：将新的被除式视为当前的被除式，重复上述步骤，直到余式的次数低于除式的次数。
5. 写出结果：最终的商加上余式（若存在）即为结果。
二、多项式长除法示例
以下是一个具体的例子，展示如何进行多项式长除法：
被除式：$ x^3 + 2x^2 - 5x + 6 $
除式：$ x - 1 $
步骤如下：
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 用 $ x^3 \div x $ 得到商的首项 $ x^2 $ | 商：$ x^2 $ |
| 2 | 用 $ x^2 \times (x - 1) = x^3 - x^2 $ | 乘积：$ x^3 - x^2 $ |
| 3 | 用原被除式减去乘积：$ (x^3 + 2x^2 - 5x + 6) - (x^3 - x^2) $ | 新被除式：$ 3x^2 - 5x + 6 $ |
| 4 | 用 $ 3x^2 \div x $ 得到商的下一项 $ 3x $ | 商：$ x^2 + 3x $ |
| 5 | 用 $ 3x \times (x - 1) = 3x^2 - 3x $ | 乘积：$ 3x^2 - 3x $ |
| 6 | 用当前被除式减去乘积：$ (3x^2 - 5x + 6) - (3x^2 - 3x) $ | 新被除式：$ -2x + 6 $ |
| 7 | 用 $ -2x \div x $ 得到商的下一项 $ -2 $ | 商：$ x^2 + 3x - 2 $ |
| 8 | 用 $ -2 \times (x - 1) = -2x + 2 $ | 乘积：$ -2x + 2 $ |
| 9 | 用当前被除式减去乘积：$ (-2x + 6) - (-2x + 2) $ | 余式：$ 4 $ |
三、最终结果
- 商：$ x^2 + 3x - 2 $
- 余式：$ 4 $
因此，可以表示为：
$$
\frac{x^3 + 2x^2 - 5x + 6}{x - 1} = x^2 + 3x - 2 + \frac{4}{x - 1}
$$
四、总结
| 项目 | 内容 |
| 方法名称 | 多项式长除法 |
| 目的 | 将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余式 |
| 适用条件 | 除式为非零多项式，且次数低于或等于被除式 |
| 基本步骤 | 排列、首项相除、乘积减法、重复操作、得出结果 |
| 应用场景 | 分解多项式、因式分解、求解方程等 |
通过掌握多项式长除法，学生可以更深入地理解多项式的结构与运算规律，是数学学习中的重要基础技能之一。
