【导数的求导公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数求导公式，对于理解和解决实际问题具有重要意义。以下是对常见函数导数公式的总结，便于快速查阅和应用。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数形式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数公式 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ | 正割函数的导数 |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数 |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 指数函数的导数 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 自然指数函数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数函数的导数 |
二、复合函数与导数法则
除了基本函数的导数外，还需要掌握一些重要的导数法则，用于处理更复杂的函数结构：
1. 和差法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x) \pm v'(x)
$$
2. 积法则
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
4. 链式法则（复合函数求导）
若 $ f(x) = g(u(x)) $，则：
$$
f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)
$$
三、常见组合函数的导数示例
| 函数形式 | 导数表达式 | 示例说明 |
| $ f(x) = \sin(2x) $ | $ f'(x) = 2\cos(2x) $ | 应用链式法则 |
| $ f(x) = (x^2 + 1)^3 $ | $ f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $ | 链式法则与幂函数结合 |
| $ f(x) = \ln(\tan x) $ | $ f'(x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{\tan x} $ | 复合函数求导 |
| $ f(x) = e^{\sin x} $ | $ f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x $ | 链式法则应用 |
四、小结
导数是数学分析中的核心概念之一，掌握其基本公式和运算法则是学习微积分的基础。通过理解这些公式并灵活运用，可以高效地解决各类数学问题，尤其在物理、工程、经济等领域有广泛应用。建议在学习过程中多做练习题，加深对导数概念的理解和应用能力。
