【商的求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当涉及到两个函数相除时，即“商”的形式，我们可以通过特定的求导法则来快速计算其导数。这种规则被称为“商的求导公式”，它是求导过程中非常常见且重要的内容之一。
一、商的求导公式总结
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则该函数的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简称为“分子导乘分母减分母导乘分子，再除以分母的平方”。
二、商的求导公式详解
1. 分子导乘分母：先对分子 $ u(x) $ 求导，得到 $ u'(x) $，然后乘以分母 $ v(x) $。
2. 分母导乘分子：对分母 $ v(x) $ 求导，得到 $ v'(x) $，然后乘以分子 $ u(x) $。
3. 相减并除以分母的平方：将上述两部分相减，最后除以分母的平方，即 $ [v(x)]^2 $。
三、商的求导公式表格展示
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 求分子导数 | 对 $ u(x) $ 求导，得到 $ u'(x) $ |
| 2 | 求分母导数 | 对 $ v(x) $ 求导，得到 $ v'(x) $ |
| 3 | 分子导 × 分母 | 计算 $ u'(x) \cdot v(x) $ |
| 4 | 分母导 × 分子 | 计算 $ v'(x) \cdot u(x) $ |
| 5 | 相减 | 计算 $ u'(x)v(x) - u(x)v'(x) $ |
| 6 | 除以分母的平方 | 最终结果为 $ \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
四、示例说明
假设 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，那么根据商的求导公式：
- $ u(x) = x^2 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = \sin x $，$ v'(x) = \cos x $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}
$$
五、注意事项
- 在使用商的求导公式前，必须确保分母不为零。
- 若分母是常数，则可以直接使用基本求导法则，无需使用商的公式。
- 商的求导公式与积的求导公式不同，需注意符号和顺序。
通过掌握商的求导公式，可以更高效地处理涉及分数形式的函数求导问题，是学习微积分过程中不可或缺的一部分。
