【频数的样本方差公式】在统计学中，样本方差是衡量一组数据与其均值之间偏离程度的重要指标。当数据以“频数”形式呈现时，即每个数据值出现的次数被记录下来，计算样本方差的方式与普通数据略有不同。本文将总结频数的样本方差公式，并通过表格形式展示其应用方式。
一、基本概念
- 频数：某一特定数值在数据集中出现的次数。
- 样本方差：反映样本数据相对于平均值的离散程度，用于估计总体方差。
当数据以频数形式给出时，需要根据每个数值及其对应的频数来计算样本方差。
二、频数的样本方差公式
设有一组数据，其中每个数值 $ x_i $ 出现的频数为 $ f_i $，则样本方差 $ s^2 $ 的计算公式如下：
$$
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
- $ x_i $：第 $ i $ 个数据值
- $ f_i $：第 $ i $ 个数据值的频数
- $ n $：总样本数量，即 $ n = \sum_{i=1}^{k} f_i $
- $ \bar{x} $：样本均值，计算公式为 $ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n} $
三、计算步骤
1. 计算样本均值 $ \bar{x} $
2. 对于每个数据值 $ x_i $，计算 $ (x_i - \bar{x})^2 $
3. 将每个 $ (x_i - \bar{x})^2 $ 乘以其对应的频数 $ f_i $
4. 将所有结果相加，得到总和 $ \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 $
5. 用该总和除以 $ n - 1 $，得到样本方差 $ s^2 $
四、示例说明（表格形式）
| 数据值 $ x_i $ | 频数 $ f_i $ | $ x_i \times f_i $ | $ x_i - \bar{x} $ | $ (x_i - \bar{x})^2 $ | $ f_i \times (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 1 | 2 | 2 | -2 | 4 | 8 |
| 2 | 3 | 6 | -1 | 1 | 3 |
| 3 | 5 | 15 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 4 | 16 | 1 | 1 | 4 |
| 5 | 1 | 5 | 2 | 4 | 4 |
计算过程：
- 总样本数 $ n = 2 + 3 + 5 + 4 + 1 = 15 $
- 样本均值 $ \bar{x} = \frac{2 + 6 + 15 + 16 + 5}{15} = \frac{44}{15} ≈ 2.93 $
- 方差 $ s^2 = \frac{8 + 3 + 0 + 4 + 4}{15 - 1} = \frac{19}{14} ≈ 1.36 $
五、总结
| 概念 | 描述 |
| 频数 | 数据中某值出现的次数 |
| 样本均值 | 所有数据值乘以对应频数后求和，再除以总样本数 |
| 样本方差公式 | $ s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 适用场景 | 当数据以频数形式给出时，适用于描述数据的离散程度 |
| 注意事项 | 确保频数与数据值一一对应，避免计算错误 |
通过上述方法，可以有效地对频数形式的数据进行方差分析，从而更准确地理解数据的分布特征。
