【哪个函数的导数是arctanx】在微积分中，我们经常需要反向思考：如果一个函数的导数是已知的，那么原函数是什么？今天我们要探讨的问题是：“哪个函数的导数是 arctanx？”这是一个典型的反求原函数的问题，通常涉及积分运算。
一、总结
我们知道，arctanx 是一个常见的反三角函数，它的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$。但反过来，如果我们知道某个函数的导数是 arctanx，那么这个函数是什么呢？
答案是：arctanx 的原函数（即不定积分）可以通过分部积分法求得。通过计算可以得出，满足 $f'(x) = \arctan x$ 的函数是：
$$
f(x) = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
其中 $C$ 是积分常数。
二、关键步骤简要说明
1. 设原函数为 $f(x)$，则 $f'(x) = \arctan x$。
2. 使用分部积分法，令：
- $u = \arctan x$
- $dv = dx$
3. 则：
- $du = \frac{1}{1 + x^2} dx$
- $v = x$
4. 应用分部积分公式：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
5. 第二个积分可以通过换元法求解：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
6. 最终得到：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
三、结论表格
| 问题 | 答案 |
| 哪个函数的导数是 arctanx？ | $f(x) = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$ |
| 导数形式 | $f'(x) = \arctan x$ |
| 积分方法 | 分部积分法 |
| 关键步骤 | 设 $u = \arctan x$, $dv = dx$，再求积分 |
| 常数项 | $C$（任意常数） |
四、小结
通过反向求导的方式，我们可以找到一个函数，其导数为 arctanx。这个过程不仅展示了微积分中积分与导数的关系，也体现了分部积分法在处理复杂函数时的重要作用。理解这一过程有助于我们在实际应用中更灵活地处理类似问题。
