在数学学习过程中，反函数是一个非常重要的概念，尤其是在函数的逆向操作和图像对称性分析中有着广泛的应用。然而，对于许多学生来说，求反函数的过程仍然存在一定的难度，尤其是在面对一些形式较为复杂的函数时。

今天，我遇到了一道关于求反函数的问题，希望得到大家的帮助与解答。题目如下：

已知函数 $ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} $，求它的反函数 $ f^{-1}(x) $。

首先，我尝试按照常规步骤来解这道题。通常，求反函数的步骤可以分为以下几个步骤：

1. 将原函数表示为 $ y = f(x) $；

2. 将 $ x $ 和 $ y $ 互换位置；

3. 解出新的方程中的 $ y $，即得到反函数 $ y = f^{-1}(x) $。

根据这个思路，我先写出原函数：

$$

y = \frac{2x + 1}{x - 3}

$$

接下来，我尝试将 $ x $ 和 $ y $ 互换：

$$

x = \frac{2y + 1}{y - 3}

$$

然后，我需要解这个方程，把 $ y $ 表示成 $ x $ 的函数。于是，我开始进行代数运算：

首先，两边同时乘以分母 $ y - 3 $，得到：

$$

x(y - 3) = 2y + 1

$$

展开左边：

$$

xy - 3x = 2y + 1

$$

接下来，把所有含 $ y $ 的项移到一边，常数项移到另一边：

$$

xy - 2y = 3x + 1

$$

提取 $ y $ 的公因子：

$$

y(x - 2) = 3x + 1

$$

最后，解出 $ y $：

$$

y = \frac{3x + 1}{x - 2}

$$

因此，我认为反函数是：

$$

f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}

$$

不过，我现在有些不确定自己是否在推导过程中哪里出错了。特别是当处理分式方程时，容易出现符号错误或计算疏漏。因此，我非常希望能得到老师或者同学们的指点，确认我的答案是否正确。

如果你也遇到类似的问题，或者有其他求反函数的方法，欢迎一起交流讨论！